Tam Giác Đường Cao Bằng Nửa Cạnh Huyền Là Tam Giác Gì? Giải Đáp Chi Tiết

Tam giác đều, tam giác vuông, tam giác cân là những kiến thức hình học nền tảng mà bất kỳ ai cũng cần nắm vững. Nhưng bạn có bao giờ tự hỏi: “Tam giác có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền là tam giác gì?”. Bài viết này của mncatlinhdd.edu.vn sẽ đi sâu vào vấn đề này, cung cấp cho bạn câu trả lời chi tiết cùng những tính chất thú vị liên quan.

1. Đường cao trong tam giác là gì?

Trước khi đi vào vấn đề chính, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đường cao trong tam giác. Đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của tam giác xuống cạnh đối diện (hoặc đường kéo dài của cạnh đó). Mỗi tam giác có ba đường cao, và điểm giao nhau của ba đường cao này được gọi là trực tâm của tam giác.

2. Tam giác có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền là tam giác gì?

Câu trả lời: Tam giác có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền là tam giác vuông.

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

Chứng minh:

Giả sử ta có tam giác ABC với cạnh huyền BC và đường cao AH. Theo đề bài, AH = 1/2 BC.

• Cách 1: Sử dụng định lý Pytago đảo

  Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

  AC² = AH² + HC²

  Mà AH = 1/2 BC, đặt BC = a, suy ra AH = a/2. Giả sử HC = x, ta có:

  AC² = (a/2)² + x² = a²/4 + x²

  Tương tự, xét tam giác AHB vuông tại H:

  AB² = AH² + HB² = (a/2)² + (a – x)² = a²/4 + a² – 2ax + x² = 5a²/4 – 2ax + x²

  Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC:

  BC² = AB² + AC²

  a² = (5a²/4 – 2ax + x²) + (a²/4 + x²)

  a² = 6a²/4 – 2ax + 2x²

  0 = a²/2 – 2ax + 2x²

  0 = a² – 4ax + 4x²

  0 = (a – 2x)²

  Suy ra a = 2x hay BC = 2HC. Điều này có nghĩa H là trung điểm của BC.

  Vậy AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền. Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

• Cách 2: Sử dụng đường tròn ngoại tiếp

  Dựng đường tròn đường kính BC. Vì AH = 1/2 BC, nên A nằm trên đường tròn này (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

  Do đó, góc BAC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, suy ra góc BAC = 90 độ. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

3. Tính chất của tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền

Tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền có một số tính chất đặc biệt sau:

• Là tam giác vuông cân: Vì đường cao bằng 1/2 cạnh huyền, nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền, suy ra tam giác vuông đó là tam giác vuông cân.
• Các góc nhọn bằng 45 độ: Do là tam giác vuông cân, nên hai góc nhọn của tam giác bằng nhau và bằng 45 độ.
• Tỉ lệ cạnh: Nếu cạnh huyền có độ dài là a, thì hai cạnh góc vuông có độ dài là a/√2.

4. Ứng dụng của tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền

Tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền thường xuất hiện trong các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến:

• Tính diện tích: Biết độ dài cạnh huyền, ta có thể dễ dàng tính được diện tích của tam giác.
• Chứng minh các tính chất hình học: Tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền có thể được sử dụng để chứng minh các tính chất khác của hình học.
• Giải các bài toán thực tế: Tam giác vuông có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền có thể được sử dụng để giải các bài toán thực tế liên quan đến đo đạc, xây dựng.

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm và AH = 5cm. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Giải:

Vì AH là đường cao và AH = 1/2 BC = 5cm, nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền BC = 8cm. Tính độ dài đường cao AH.

Giải:

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AH = 1/2 BC = 4cm.

Kết luận

Như vậy, mncatlinhdd.edu.vn đã giúp bạn giải đáp câu hỏi “Tam giác có đường cao bằng 1/2 cạnh huyền là tam giác gì?”. Đó chính là tam giác vuông, và trong trường hợp đặc biệt, nó còn là tam giác vuông cân. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về loại tam giác đặc biệt này và áp dụng nó vào giải các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy tiếp tục theo dõi mncatlinhdd.edu.vn để khám phá thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác nhé!

Nguồn: https://mncatlinhdd.edu.vn/ Tác giả: Nguyễn Lân dũng