Khám Phá Bí Mật Tính Chất Ba Đường Phân Giác Tam Giác: Ứng Dụng & Bài Tập (mncatlinhdd.edu.vn)

Trong hình học, khái niệm về đường phân giác và giao điểm của chúng trong tam giác là một phần quan trọng. Vậy, 2 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm gọi là gì? Điểm này có những tính chất đặc biệt nào? Bài viết này từ mncatlinhdd.edu.vn sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn toàn diện về vấn đề này.

1. Đường Phân Giác Của Tam Giác

Trong tam giác \(ABC\), tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(M\).

• Đoạn thẳng \(AM\) được gọi là đường phân giác của tam giác \(ABC\).
• Đường thẳng \(AM\) cũng được gọi là đường phân giác của tam giác \(ABC\).
• Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

2. Tính Chất Ba Đường Phân Giác Của Tam Giác

Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Điểm này chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Chứng minh định lý:

• Giả thiết (GT):
  • \(∆ABC\)
  • Hai phân giác \(BE, CF\) cắt nhau tại \(I\)
  • \(IH \bot BC,\,IK \bot AC,\,IL \bot AB\) \(\left( {H \in BC,K \in AC,L \in AB} \right)\)
• Kết luận (KL):
  • \(AI\) là tia phân giác của góc \(A\)
  • \(IH = IK = IL\)

Giải thích:

1. Giao điểm hai đường phân giác: Điểm \(I\) là giao điểm của hai đường phân giác \(BE\) và \(CF\). Điểm này có một vị trí đặc biệt, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
2. Tính chất cách đều: Vì \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(B\), nó cách đều hai cạnh \(AB\) và \(BC\) (tức là \(IL = IH\)). Tương tự, vì \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(C\), nó cách đều hai cạnh \(AC\) và \(BC\) (tức là \(IK = IH\)). Do đó, \(IH = IK = IL\).
3. Đường phân giác thứ ba: Vì \(I\) cách đều ba cạnh của tam giác, nó cũng nằm trên đường phân giác của góc \(A\). Điều này chứng tỏ ba đường phân giác của tam giác \(ABC\) đồng quy tại \(I\).

Ứng dụng:

• Tìm tâm đường tròn nội tiếp: Giao điểm ba đường phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, giúp ta xác định vị trí chính xác của tâm đường tròn này.
• Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách: Tính chất cách đều ba cạnh của giao điểm phân giác giúp giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến các cạnh của tam giác.

3. Bài Tập Vận Dụng

Bài tập 1: Cho tam giác \(ABC\), biết \(AB = 3\) cm, \(AC = 4\) cm, \(BC = 5\) cm. Tìm khoảng cách từ giao điểm các đường phân giác đến các cạnh của tam giác.

Hướng dẫn:

• Xác định giao điểm \(I\) của ba đường phân giác.
• Sử dụng tính chất \(IH = IK = IL\) để tìm khoảng cách.
• Áp dụng công thức diện tích tam giác để tính.

Bài tập 2: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Chứng minh rằng đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(A\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Hướng dẫn:

• Sử dụng tính chất của tam giác cân và đường phân giác.
• Chứng minh \(AM\) vừa là phân giác, vừa là trung tuyến.

Kết luận

Như vậy, điểm đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác không chỉ là một điểm đặc biệt mà còn mang những tính chất quan trọng, đặc biệt là tính chất cách đều ba cạnh. Hiểu rõ về tính chất này giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này từ mncatlinhdd.edu.vn đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích!

Tài liệu tham khảo:

• Sách giáo khoa Toán 7, tập 2.
• Các tài liệu hình học phẳng nâng cao.