Hệ Số Góc Đường Thẳng: Định Nghĩa, Ứng Dụng & Bài Tập (A-Z)

Khám phá khái niệm hệ số góc của đường thẳng, một yếu tố then chốt trong hình học giải tích. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, ý nghĩa và cách ứng dụng hệ số góc để giải quyết các bài toán liên quan.

Trong toán học, đặc biệt là hình học giải tích, hệ số góc của đường thẳng là một khái niệm vô cùng quan trọng. Nó không chỉ cho biết độ dốc của đường thẳng mà còn thể hiện hướng của nó trên mặt phẳng tọa độ. Vậy, hệ số góc của đường thẳng là gì và nó được ứng dụng như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết trong bài viết này.

1. Góc Tạo Bởi Đường Thẳng và Trục Ox

Để hiểu rõ về hệ số góc, trước tiên cần nắm vững khái niệm về góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox. Xét đường thẳng \(d: y = ax + b\) với \(a ≠ 0\). Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) với trục \(Ox\), và \(T\) là một điểm bất kỳ trên \(d\) nằm phía trên trục \(Ox\). Góc \(\alpha = \widehat{TAx}\) được gọi là góc tạo bởi đường thẳng \(d: y = ax + b\) và trục \(Ox\). Góc này giúp ta hình dung trực quan về độ nghiêng của đường thẳng so với phương ngang.

2. Định Nghĩa Hệ Số Góc

Hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\) (với \(a ≠ 0\)), thường được ký hiệu là \(a\), chính là giá trị quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng đó.

• Khi \(a > 0\): Góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\) là góc nhọn. Khi \(a\) càng lớn, góc này càng lớn và tiến gần đến \(90^0\). Điều này có nghĩa là đường thẳng dốc lên nhanh hơn khi di chuyển từ trái sang phải.
• Khi \(a < 0\): Góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\) là góc tù. Khi trị tuyệt đối của \(a\) (\(|a|\)) càng nhỏ, góc này càng lớn và tiến gần đến \(180^0\). Trong trường hợp này, đường thẳng dốc xuống khi di chuyển từ trái sang phải.

Như vậy, hệ số góc \(a\) là một chỉ số quan trọng, thể hiện mối liên hệ giữa sự thay đổi của tọa độ y và tọa độ x trên đường thẳng.

Lưu ý quan trọng: Các đường thẳng có cùng hệ số góc \(a\) sẽ tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau, tức là chúng song song với nhau (hoặc trùng nhau nếu chúng có cùng tung độ gốc).

3. Các Dạng Toán Cơ Bản Về Hệ Số Góc

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp:

Đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(a\) chính là hệ số góc của đường thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng \(y = -2x + 1\) có hệ số góc là \(a = -2\).

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc

Phương pháp:

1. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
2. Dựa vào thông tin về hệ số góc để xác định giá trị của \(a\).
3. Sử dụng các điều kiện khác của bài toán (ví dụ: đường thẳng đi qua một điểm cụ thể) để tìm giá trị của \(b\).

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(1; 4)\) và có hệ số góc bằng 3.

• Gọi phương trình đường thẳng là \(y = 3x + b\).
• Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình, ta có: \(4 = 3 * 1 + b \Rightarrow b = 1\).
• Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = 3x + 1\).

4. Bài Tập Về Hệ Số Góc Của Đường Thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 1. Cho đường thẳng \(d: y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là:

A. \(-a\)

B. \(a\)

C. \(\dfrac{1}{a}\)

D. \(b\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc.

Chọn đáp án B.

Bài 2. Cho đường thẳng \(d: y = 2x + 1\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là:

A. \(-2\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d: y = 2x + 1\) có hệ số góc là \(a = 2\).

Chọn đáp án D.

Bài 3. Cho đường thẳng \(d:\) \(y = \left( {m + 2} \right)x – 5\) đi qua điểm \(A\left( { – 1;2} \right)\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là:

A. \(1\)

B. \(11\)

C. \(-7\)

D. \(7\)

Lời giải:

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:

\(\left( {m + 2} \right).\left( { – 1} \right) – 5 = 2 \Leftrightarrow -m – 2 = 7 \Leftrightarrow m = -9\)

Suy ra \(d: y = -7x – 5\)

Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = -7\).

Chọn đáp án C.

Bài 4. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và điểm \(M\left( {1;3} \right)\)

A. \(-2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì \(d\) đi qua gốc tọa độ nên \(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình \(y = ax\) ta được:

\(3 = 1.a \Rightarrow a = 3\) (TM)

Nên phương trình đường thẳng \(d: y = 3x\)

Hệ số góc của \(d\) là \(k = 3\).

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho đường thẳng \(d\): \(y = \left( {m + 2} \right)x – 5\) có hệ số góc là \(k = -4\). Tìm \(m\)

A. \(m = -4\)

B. \(m = -6\)

C. \(m = -5\)

D. \(m = -3\)

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = m + 2\) \((m \ne -2)\)

Từ giả thiết suy ra \(m + 2 = -4 \Leftrightarrow m = -6\) (TM).

Chọn đáp án B.

Kết Luận

Hệ số góc là một khái niệm then chốt trong hình học giải tích, giúp ta hiểu rõ về độ dốc và hướng của đường thẳng. Nắm vững định nghĩa, cách tính và ứng dụng của hệ số góc sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác.