Cực trị của hàm số là gì? Cách tìm và bài tập vận dụng thường gặp

Tối ưu của chức năng là một trong những phần quan trọng của kiến ​​thức đại số ở trường trung học. Để làm cho sinh viên dễ dàng nắm bắt và áp dụng kiến ​​thức này. Mầm non Cát Linh đã tóm tắt tất cả các khái niệm và cách tìm các chức năng chung của chức năng chung ngay dưới dây.

Sự phân cực của hàm là gì?

Tối ưu của hàm là giá trị làm cho chức năng thay đổi khi thay đổi. Xem xét hình học, cực của hàm cho thấy khoảng cách tối đa từ điểm này sang điểm khác và ngược lại.

Lưu ý: Giá trị tối đa và giá trị tối thiểu không phải là giá trị tối đa và giá trị tối thiểu của hàm.

Các lý thuyết liên quan đến điểm cực đoan của hàm

Định nghĩa giá trị tối đa và giá trị tối thiểu

Giả sử hàm F được xác định trên k (k ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.

• X0 được gọi là điểm tối đa của hàm F nếu có phạm vi (a; b) k chứa điểm x0 sao cho f (x)

• X0 được gọi là điểm tối thiểu của hàm F nếu tồn tại một phạm vi (a; b) k chứa điểm x0 sao cho f (x)> f (x0), ∀ x ∈ (a; b) \ {x0}. Thì f (x0) được gọi là giá trị tối thiểu của hàm f.

Một số ghi chú chung:

1. Điểm tối đa (tối thiểu) x0 được gọi chung là điểm cực đoan. Giá trị tối đa (tối thiểu) f (x0) của hàm được gọi chung là cực đoan. Hàm có thể đạt tối đa hoặc tối thiểu tại nhiều điểm trên K.

2. Nói chung, giá trị tối đa (tối thiểu) f (x0) không phải là tối đa (tối thiểu) của hàm f trên tập k; F (x0) chỉ là tối đa (tối thiểu) của hàm F trên phạm vi (a; b) chứa x0.

3. Nếu x0 là một điểm cực đoan của hàm f, điểm (x0; f (x0)) được gọi là điểm cực đoan của biểu đồ hàm f.

Định lý về điều trị chức năng

Định lý 1: Giả sử hàm F đã đạt đến cực điểm tại điểm x0. Sau đó, nếu F có đạo hàm tại điểm x0 thì f ‘(x0) = 0.

Một số ghi chú chung:

1. Điều ngược lại có thể không đúng. Hàm f ‘có thể là 0 tại điểm x0 nhưng hàm f không đạt đến cực điểm tại điểm x0.

2. Hàm có thể đạt đến cực điểm tại một điểm mà hàm không có đạo hàm.

Định lý 2: Nếu f ‘(x) thay đổi dấu hiệu từ âm và dương khi x đi qua điểm x0 (theo hướng tăng), hàm đạt đến mức tối thiểu tại x0.

Nếu f ‘(x) chuyển đổi các dấu hiệu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo hướng tăng), hàm tối đa tại x0.

Định lý 3: Giả sử hàm F có đạo hàm đầu tiên trên phạm vi (a; b) chứa điểm x0, f ‘(x0) = 0 và f với mức thứ cấp của cấp độ 0 khác tại điểm x0.

• Nếu f ” (x0) <0, hàm F đạt tối đa tại điểm x0.

• Nếu f ” (x0)> 0 thì hàm F đạt tối thiểu tại điểm x0.

• Nếu f ” (x0) = 0 thì chúng ta không thể kết luận, cần phải tạo một bảng biến hoặc bảng chức năng.

Số lượng điểm cực của hàm

Mỗi dạng chức năng có một điểm cực đoan khác nhau, kết luận có thể là: không có điểm cực đoan, có 1 điểm cực đoan trong phương trình cấp 2, có 2 điểm cực đoan trong phương trình cấp 3, …

Lưu ý với các điểm cực đoan của hàm:

• Điểm tối đa (hoặc tối thiểu) của X0 là điểm cực đoan. Giá trị tối đa (hoặc giá trị tối thiểu) F (x0) gọi chung là cực đoan. Tại 1 điểm có thể là đa mmaximum và tối thiểu.
• Giá trị tối đa (hoặc giá trị tối thiểu) f (x0) không phải là giá trị tối đa (hoặc giá trị tối thiểu) của hàm F mà chỉ là giá trị tối đa (hoặc giá trị tối thiểu) của hàm F trên phạm vi (a; b) chứa x0.
• Nếu 1 điểm cực đoan của F là x0 thì điểm (x0; f (x0)) là điểm cực của hàm f.

Cách tìm điểm cực của hàm

Mỗi chức năng có một tính chất khác nhau và cách tìm kiếm điều trị cực độ. Chẳng bao lâu, Mầm non Cát Linh sẽ giới thiệu với bạn cách xác định điểm cực đoan của chức năng phổ biến trong các câu hỏi thi.

Tìm chức năng cực đoan của chức năng cấp 2

Hàm cấp 2 có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền được xác định là d = R. chúng ta có: y ‘= 2ax + b.

• Y ‘thay đổi dấu hiệu khi x vượt qua x0 = -b/2a

• Hàm đạt đến cực điểm tại x0 = -b/2a

Xác định điểm cực của hàm thứ 3

Hàm 3 có biểu mẫu: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền được xác định là d = r. Chúng ta có: y ‘= 3ax2 + 2bx + c →’ = b2 – 3ac.

• Δ ‘0: y’ không thay đổi → chức năng không có thái cực

• Δ ‘> 0: y’ Thay đổi 2 lần → Hàm có hai thái cực (1 CD và 1 CT)

Cách tìm một đường thẳng thông qua hai điểm cực đoan của hàm thứ ba:

Chúng ta có thể phân tích: y = f (x) = (ax + b) f ‘(x) + cx + d bằng cách chia đa thức f (x) cho đa thức f’ (x).

Giả sử chức năng đạt đến mức cực đoan tại x1 và x2

Chúng ta có: f (x1) = (ax1 + b) f ‘(x1) + cx1 + d → f (x1) = cx1 + d vì f’ (x1) = 0

Tương tự: f (x2) = cx2 + d vì f ‘(x2) = 0

Kết luận: Dòng qua hai điểm cực đoan có phương trình: y = cx + d

Tính toán cực của hàm cấp 4 (cùng một hàm)

Hàm chức năng có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền được xác định là d = r. Chúng ta có: y ‘= 4ax^3 + 2bx = 2x (2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.

• Khi -B/2A 0 b/2a 0, y ‘chỉ thay đổi dấu một lần khi x vượt qua x0 = 0 → hàm đạt đến cực điểm tại XO = 0

• Khi -B/2A> 0 b/2a <0, y 'thay đổi dấu hiệu 3 lần → hàm có 3 cực

Cách xác định cực của hàm lượng giác

Phương pháp tìm kiếm cực đoan của các hàm lượng giác như sau:

• Bước 1: Tìm miền được xác định của hàm.

• Bước 2: Tính toán đạo hàm y ‘= f’ (x), giải phương trình y ‘= 0, giả sử giải pháp x = x0.

• Bước 3: Lúc đó chúng ta tìm thấy đạo hàm. ‘

• Tính toán y ” (x0) và sau đó đưa ra kết luận dựa trên Định lý 2.

Xác định điểm cực của hàm logarit

Chúng ta cần làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm miền được xác định của hàm.

• Bước 2: Tính toán đạo hàm y ‘, sau đó giải phương trình y’ = 0, giả sử giải pháp x = x0.

• Bước 3: Xem xét hai khả năng:

  • Tìm phái sinh y ”.

  • Tính toán y ” (x0) và sau đó đưa ra kết luận dựa trên Định lý 3.

• Nếu bạn xem xét dấu hiệu của y ‘: thì: tạo một bảng biến và sau đó đưa ra kết luận dựa trên Định lý 2.

• Nếu bạn không thể xem xét dấu hiệu của Y ‘: thì:

Giúp con bạn học toán kết hợp với tiếng Anh siêu tiết kiệm chỉ trên ứng dụng toán học khỉ. Với nội dung giảng dạy vạn năng để giúp trẻ phát triển tư duy não bộ và ngôn ngữ toàn diện chỉ với khoảng 2k/ngày.

Các loại bài tập để tìm điểm chức năng chung

Bởi vì các thái cực của các thái cực xuất hiện thường xuyên trong các câu hỏi thi quốc gia hàng năm. Nắm bắt tình huống chung, Mầm non Cát Linh đã tóm tắt ba loại vấn đề phổ biến liên quan đến cực đoan của chức năng, giúp bạn dễ dàng thực hành hơn.

Mẫu 1: Tìm điểm cực đoan của hàm

Có 2 cách để giải quyết vấn đề tìm các điểm cực đoan của hàm, bạn có thể làm theo ngay bên dưới.

Phương pháp 1:

• Bước 1: Tìm tập hợp xác định của hàm.

• Bước 2: Tính f ‘(x). Tìm các điểm tại f ‘(x) bằng 0 hoặc f’ (x) vô thời hạn.

• Bước 3: Tạo một bảng biến.

• Bước 4: Từ bảng biến, các điểm cực đoan.

Phương pháp 2:

• Bước 1: Tìm tập hợp xác định của hàm.

• Bước 2: Tính f ‘(x). Giải phương trình f ‘(x) và ký hiệu XI (i = 1,2,3, …) là các giải pháp của nó.

• Bước 3: Tính f ” (x) và f ” (xi).

• Bước 4: Dựa trên dấu hiệu của f ” (xi) suy ra các thuộc tính cực đoan của điểm XI.

Ví dụ:

Tìm cực của hàm y = 2×3 – 6x + 2.

Hướng dẫn giải pháp:

Tập hợp xác định d = R.

Tính y ‘= 6x^2 – 6. Đặt y’ = 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 x = ± 1.

Bảng biến:

Vì vậy, hàm đạt tối đa tại x = – 1, y = 6 và hàm đạt mức tối thiểu tại x = 1, y = -2.

Mẫu 2: Tìm tham số m sao cho hàm đạt đến cực điểm tại một điểm

Giải pháp:

Trong hình thức toán học này, chúng tôi chỉ xem xét trường hợp hàm phái sinh tại x0. Vào thời điểm đó, để giải quyết vấn đề này, chúng tôi thực hiện hai bước.

• Bước 1: Điều kiện cần thiết để hàm đạt đến cực điểm tại x0 là y ‘(x0) = 0, từ điều kiện này, chúng tôi tìm thấy giá trị của tham số.

• Bước 2: Kiểm tra bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc cực đoan, để xem xét liệu giá trị của tham số vừa được thỏa mãn thỏa mãn các yêu cầu của vấn đề?

Ví dụ:

Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 + (m^2 – 1) x + 2, m là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm đã đạt đến mức tối thiểu tại x = 2.

Hướng dẫn giải pháp:

Tập hợp xác định d = R. Tính y ‘= 3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y ” = 6x – 6m.

Hàm được đưa ra tối thiểu tại x = 2 →

M = 1.

Mẫu 3: Đối số theo số cực của hàm

Đối với cực của hàm thứ ba

Đặt hàm y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Vào thời điểm đó, chúng ta có: y ‘= 0 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1); ”Y ‘= B^2 – 3ac.

• Phương trình (1) Các giải pháp vô hình hoặc đôi, hàm được đưa ra không có thái cực.

• Chức năng 3 không có cực đoan ⇔ b^2 – 3ac ≤ 0

• Phương trình (1) có hai giải pháp riêng biệt, hàm được đưa ra có 2 thái cực.

• Hàm 3 có 2 cực ⇔ b^2 – 3ac> 0

Đối với cực của hàm bậc hai

Cho hàm: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có biểu đồ (c). Vào thời điểm đó, chúng ta có: y ‘= 4ax^3 + 2bx; y ‘= 0 x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.

• .

• .

Ví dụ:

Tìm m sao cho hàm y = x3 + mx + 2 có cả tối đa và tối thiểu.

Hướng dẫn giải pháp:

Chúng ta có: y ‘= 3×2 + m → hàm y = x3 + mx + 2 có cả tối đa và tối thiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai giải pháp riêng biệt. Vì vậy, m <0.

Một số bài tập cực đoan về chức năng tự động

Câu trả lời của các bài tập trên là: 1a; 2d; 3a; 4A; 5A; 6a; 7d; 8d; 9d; 10b; 11c.

Trên đây là tất cả kiến ​​thức về cực đoan của chức năng mà Khỉ muốn chia sẻ với độc giả. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn xem xét một phần cho các kỳ thi sắp tới. Xin vui lòng đi cùng bạn!