Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn: Định Nghĩa, Công Thức & Bài Tập (A-Z)

Cấp số nhân lùi vô hạn là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt khi nghiên cứu về dãy số và chuỗi số. Vậy, cấp số nhân lùi vô hạn là gì? Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa chi tiết, công thức tính tổng, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Như chúng ta đã biết, cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, đều bằng tích của số hạng đứng liền trước nó với một số không đổi q. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân $(u_n)$ được xác định bởi: $u_1 = a, u_{n+1} = u_n \cdot q \; (n \in \mathbb{N}^*)$, trong đó q là công bội.

Vậy, một cấp số nhân có dạng: $a, aq, aq^2, aq^3, aq^4, …$, với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu là 3, công bội là 2 sẽ là: 3, 6, 12, 24, 48,…

Vậy, cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn điều kiện: $|q| < 1$.

Ví dụ: Các dãy số sau đây đều là cấp số nhân lùi vô hạn:

• a) $1; \frac{1}{5}; \frac{1}{5^2}; …; \frac{1}{5^{n-1}}; …$
• b) $2; -1; \frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; …; (-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-2}}; …$
• c) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; …$

2. Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Một điểm đặc biệt của cấp số nhân lùi vô hạn là tổng của tất cả các số hạng trong dãy có thể tính được và là một giá trị hữu hạn.

Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$. Tổng của n số hạng đầu tiên của $(u_n)$ là:

$S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_{n-1} + u_n$

$\Rightarrow S_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}$

Khi $n$ tiến tới vô cùng, vì $|q| < 1$ nên $q^n$ tiến tới 0. Do đó, giới hạn của $S_n$ khi $n$ tiến tới vô cùng là:

$S = \frac{u_1}{1 – q}$

Đây chính là công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.

Lời giải:

Ta có: $u_1 = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S = \frac{u_1}{1 – q} \Leftrightarrow S = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4, công bội là $\frac{1}{2}$. Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân này.

Lời giải:

Áp dụng công thức, ta có tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân là:

$S = \frac{4}{1 – \frac{1}{2}} = 8$

3. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn (Có Lời Giải)

Để củng cố kiến thức, hãy cùng làm một số bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cấp số nhân lùi vô hạn sau có tổng các số hạng là bao nhiêu: $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; …; \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}; …$

A. $\frac{1}{5}$B. $\frac{1}{7}$C. $\frac{1}{9}$D. $\frac{1}{3}$

Lời giải: Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = \frac{1}{2}$ và $q = -\frac{1}{2}$.

Tổng S là: $S = \frac{u_1}{1 – q} \Leftrightarrow S = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$

Đáp án đúng: D

Câu 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_1 = -1$ và $q = -\frac{1}{2}$. Tính tổng $S$ của cấp số này.

A. $\frac{7}{3}$B. $\frac{1}{3}$C. $\frac{2}{3}$D. $\frac{5}{3}$

Lời giải: Tổng $S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = -\frac{2}{3}$. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, có lẽ có một lỗi nhỏ trong đề bài. Nếu $u_1=1$, đáp án sẽ là C. $\frac{2}{3}$

Câu 3: Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội bằng $\frac{2}{3}$.

A. 1B. $\left(\frac{2}{3}\right)^n$C. $\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$D. $\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$

Lời giải: Ta có: $S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{u_1}{1 – \frac{2}{3}} = 3 \Rightarrow u_1 = 1$

Số hạng tổng quát của cấp số là: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Đáp án đúng: C

Câu 4: Tính tổng của dãy số sau: $-1 + \frac{1}{10} – \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} – …$

A. $\frac{1}{11}$B. $\frac{5}{11}$C. $\frac{8}{11}$D. $-\frac{10}{11}$

Lời giải: Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = -1$ và $q = -\frac{1}{10}$.

Tổng S là: $S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{10}} = -\frac{10}{11}$

Đáp án đúng: D

Câu 5: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$, tổng của ba số hạng đầu bằng $\frac{39}{25}$. Tìm $u_1$ và q.

A. $u_1 = 1, q = \frac{2}{5}$B. $u_1 = 1, q = -\frac{2}{5}$C. $u_1 = -1, q = \frac{2}{5}$D. $u_1 = -1, q = -\frac{2}{5}$

Lời giải: (Bài này cần giải hệ phương trình để tìm ra đáp án đúng)

\begin{cases} \frac{u_1}{1-q} = \frac{5}{3} \\ u_1 + u_1q + u_1q^2 = \frac{39}{25} \end{cases}

Giải hệ trên, ta được $u_1 = 1$ và $q = \frac{2}{5}$.

Đáp án đúng: A

4. Ứng Dụng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

(Phần này sẽ bổ sung các ứng dụng thực tế của cấp số nhân lùi vô hạn trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế,…)

Kết luận

Qua bài viết này, hy vọng bạn đã hiểu rõ cấp số nhân lùi vô hạn là gì, nắm vững công thức tính tổng và biết cách áp dụng vào giải các bài tập liên quan. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong học tập và giải quyết các vấn đề toán học. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác!

Tài liệu tham khảo:

• Sách giáo khoa Giải tích 11 nâng cao.
• Các bài viết về cấp số nhân trên trang toanmath.com.

(Lưu ý: Các đường link chỉ mang tính chất ví dụ, cần thay thế bằng các nguồn uy tín thật sự).